Tribu engendrée par une variable aléatoire - Math'φsics

Tribu engendrée par une variable aléatoire

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Tribu engendrée \(\sigma(X)\) par une variable aléatoire \(X:\Omega\to\mathcal E\) Plus petite Tribu sur \(\Omega\) qui rend \(X\) mesurable.
- formule : \(\sigma(X)=\) \(\{X^{-1}(B)\mid B\in\mathcal E\}\)
- caractérisation des v.a. réelles \(Y\) qui sont \(\sigma(X)\)-mesurables : il existe une Fonction mesurable \(f:(E,\mathcal E)\to({\Bbb R},{\mathcal B}({\Bbb R}))\) tq \(Y=f(X)\)
Soit \(Y\) une v.a. Réelle.
Mq \(Y\) est \(\sigma(X)\)-mesurable si et seulement s'il existe une fonction mesurable \(f:(E,\mathcal E)\to({\Bbb R},{\mathcal B}({\Bbb R}))\) tq \(Y=f(X)\).

\(\impliedby\) : mesurable en tant que composées de fonctions mesurables.

\(\implies\) : Ok pour \(Y\) étagée en prenant les antécédents des ensembles par \(X\).

Pour le cas général, on se base sur une limite croissante de fonctions étagées.

Cette fonction est mesurable, bien définie et nous donne bien la représentation cherchée.
Rétroliens :
- Théorème des coalitions